مدل‌سازی مالی

مدل و مدل­‌سازی در بازارهای مالی

فایل‌های مربوط به این بخش:

تشریح مدل‌­سازی در کتاب‌های مالی آمده است:

الف. مقدمه

یکی از موضوعات مهم و اساسی در رشته‌­های ریاضیات مالی، مهندسی مالی، اقتصاد مالی و اخیرا در مدیریت مالی، مطالعه مدل‌­ها است.

 مطالعه مدل‌­ها نیازمند پیش زمینه‌هایی بوده که در برنامه درسی رشته کارشناسی ارشد ریاضیات مالی و دکتری ریاضیات مالی آمده است. به نظر من برای هر محقق بسیار مهم و اساسی بوده که حوزه مطالعات خود را در یک بازار متمرکز کند و هدف از یک برنامه تحقیق، تخصص و حرفه ای شدن در یکی از بازارهای مورد مطالعه بوده و از دیگر بازارها نیز بایستی مفاهیم به اندازه نیاز بداند و اطلاعات عمومی داشته باشد. اگر بخواهم بازار در بالاترین دسته بندی تقسیم کنم، می‌توان به سه حوزه مطالعاتی زیر اشاره کرد:

• بورس (منظور شامل همه حوزه‌های مطالعاتی سهام، نرخ بهره، اوراق بهادار با درآمد ثابت، نفت، بازار مشتقات، فلزات و غیره می‌باشد)
• بانک
• بیمه

همه می‌دانیم این سه حوزه مطالعاتی بسیار وسیع بوده و مشترکات فراوانی دارند، مثلا مطالعه ریسک در صنعت بیمه، اشترک تنگاتنگی با بانک داشته و در بورس نیز مشترکاتی وجود دارد همچنین مطالعه بازار مشتقات نه تنها در حوزه بورس بوده بلکه برای قیمت‌گذاری ریسک بیمه‌ها زیاد مورد استفاده قرار می‌گیرد و نمونه دیگر، مطالعه اوراق قرضه با پشتوانه رهنی در سه حوزه مطالعاتی، بورس و بانک و بیمه قرار می‌گیرد، اما سخن من این است که اگر محققی بخواهد ریسک دقیق مطالعه و مدل‌­سازی کنید باید تمرکز روی یک بازار داشته باشد، مثلا اگر ریسک در بانک بخواهیم مطالعه کنیم باید شناخت مفصلی از تمام اجزای بانک مانند کمیته‌های ریسک، مشتریان، قوانین، ساختار، ابزار کنترل ریسک در بانک، بازارهای موازی، بازارهای رقیب و بسیاری از موارد دیگر داشته باشیم، سپس به مطالعه مدل­‌سازی ریسک بپردازد.

هدف دیگر من از این تقسیم‌بندی این است که محققین ریاضیات مالی که تمایل دارند با مدرک رشته ریاضیات مالی جذب بازار کار بشوند بایستی شناخت دقیق و حرفه ای از یکی از حوزه‌های فوق داشته باشند تا بتوانند شغل حرفه‌ای پیدا کنند و از تخصص خود برای ارتقای شغلی استفاده بکنند.

توصیه من در مورد مدل­­‌سازی به اینصورت است که بایستی در ابتدا بازاری بصورت عمیق مطالعه و شناخت داشته باشیم ، سپس به مدل­‌سازی آن بازار به منظور ارتقای فعالیت‌ها و در راستای اهداف اصلی آن بازار مثلا به برای کنترل ریسک، پیش‌بینی قیمت یا قیمت‌گذاری بپردازیم نه اینکه از یک برای مدل‌های مورد علاقه خودمون کاربردی در بازارها پیدا کنیم، البته اینم روش غلطی نیست ولی شخصاً پیشنهاد اولی را دارم.

پس جمع‌بندی من به این صورت است که مطالعه مدل و مدل‌­سازی حوزه بسیار وسیع بوده و نمی‌توان همه نوع مدل­‌ها در یک مقوله گنجاند و تشریح داد، همچنین مطالعه مدل‌­ها نیازمند شناخت کافی از بازارهای مالی می‌باشد، علاوه بر آن مدل­‌سازی نیازمند شناخت کافی از دانش ریاضیات در حد حداقل دروس رشته کارشناسی ارشد ریاضیات مالی بوده و برای پیاده‌سازی تخصص کافی در یکی نرم‌افزارهای مالی مانند Matlab  یا Python و غیره می‌باشد.

ب. معرفی چند نوع مدل­‌سازی

در زیر به معرفی چند نوع مدل در حالت کلی می‌پردازیم و بحث تکمیلی به حوزه تخصصی مثل مدل‌­سازی مالی با SDE ها و PDE ها واگذار می کنیم که محقق با رجوع به سایت قطب علمی ریاضیات مالی، مطالب خواسته شده را آموزش ببیند.

ورود به این حوزه بسیار با اهمیت است و کاربردهای ملموس فراوانی در بازارهای مالی دارد، امروزه بحث سرمایه‌گذاری و بازارهای سرمایه نقش کلیدی در زندگی افراد حقیقی و حقوقی ایفا می‌کند و کشورها در این زمینه سرمایه‌گذاری فراوانی کرده و گرنت­‌های زیادی داده می‌شود، در واقع بخش بسیار عظیمی از پول در این بازارها جابجا می شود، ورود به این حوزه نیازمند پیش زمینه ریاضی مالی از جمله ریاضیات تصادفی دارد و محققین بایستی با فرایندهای تصادفی، حسابان تصادفی، معادلات دیفرانسیل تصادفی، برنامه‌ریزی تصادفی و روش‌های عددی بصورت عمیق آشنا باشند، پیش‌بینی قیمت انواع سهام، قیمت‌گذاری نفت از مثال‌­های ساده در این حوزه می‌باشند،. برخی از مدل­‌های مورد مطالعه در این حوزه در قسمت مدل­‌سازی مالی با SDE ها آمده است. 

نرخ بهره تاثیر بسیار زیادی بر اقتصاد و معیشت مردم دارد، بر این اساس مطالعه رفتار آن با داشتن مدل مناسب می تواند تاثیرات آن را بر سایر متغیر ها بررسی کرد، امروزه مدل­سازی نرخ بهره به پارامترهای زیادی بستگی دارد و می توان گفت مدل‌­های تصادفی می‌توانند تعبیر مناسبی از نرخ بهره داشته باشند، نکته حایز اهمیت در این نوع مدل‌­سازی این است که شکل مدل‌های نرخ بهره مانند مدل­‌های دارایی‌­های تصادفی بوده با این تفاوت که پارامترها بایستی به گونه ای مدل­‌سازی و تخمین بشوند که خاصیت نرخ بهره را داشته باشند.

مدل‌سازی نرخ خسارت، مدل‌سازی شاخص نمونه‌های ساده‌ای از این نوع مدل‌سازی می‌باشند، در کتاب مهندسی مالی و مدل‌سازی مالی با کاربرد آن در MATLAB آمده است.

ریسک بحث بسیار جذابی هست که در کشور بصورت کامل در مباحث آن ورود نشده است، مدل‌­سازی ریاضی ریسک موضوع مهمی هست که می تواند در حوزه بانک وبیمه که بیشتر تحت تاثیر هستند مورد استفاده قرار گیرد. در این حوزه بنظرم مدل­‌سازی پرتفوی و مدل‌­سازی تصادفی پرتفوی (نظریه بهینه‌سازی تصادفی) از اهمیت بیشتر برخوردار می‌باشد، از نکات جالب این حوزه می‌توان از مدل‌­سازی مشتقات مالی برای پوشش ریسک استفاده کرد. علاوه بر اینها حوزه‌های جالب دیگری در مدل‌­سازی ریسک موجود است مثلا مدل‌­سازی ریسک فناوری مالی(فین-تک) مطالعه ریسک استارت آپ‌­های مالی و غیره.

بنظرم مطالعه و ورود در این حوزه فوق العاده است و پژوهشگر را با مفاهیم نوین ریاضی،  مالی و فناوری آشنا کرده و آن را بر حرکت به مرز علم و دانش هدایت می کند.

در اینده مطالب بسیار جالب در این زمینه به اشتراک گذاشته خواهد شد.

کتاب مدل‌های ریاضی مشتقات مالی ملاحظه فرمایید:

همان­گونه که در کتاب فوق و  کتاب مهندسی مالی تالیف دکتر نیسی اشاره شد، مشتقات مالی یکی از ابزارهای مهم کنترل و مدیریت ریسک در بنگاه­های اقتصادی می­‌باشند. این ابزار در غالب قراردادهایی ارائه می­‌گردند که مهمترین این قراردادها، قرارداد اختیار معامله است.

 انقلاب در تجارت و قیمت‌گذاری اوراق بهادار مشتق شده از دارایی پایه در اوایل سال 1970 آغاز شد. درسال 1973 دفتر بورس اختیار معامله شیکاگو شروع به تجارت اختیار معامله در بورس نمود،  اگر چه موسسات مالی در سال­‌های قبل آنها را بطور منظم در بازارها معامله می کردند، لیکن در همان سال بلک و شولز (1973) و مرتون(1973) مقالات اصلی خود را درباره تئوری قیمت گذاری حق اختیار معامله منتشر کردند. از آن زمان به بعد رشته مهندسی مالی رشد عمده‌ای یافت. بلک و شولز و مرتون بواسطه نقش اساسی و ابتکاری خود در طرح تئوری قیمت‌گذاری مشتقات در سال 1997 برنده جایزه نوبل در اقتصاد شدند.

در زیر برخی از مفاهیم مدل­‌سازی بازارهای مشتقات را بطور خلاصه بیان می‌کنیم و بحث ریاضی مشتقات در کتاب­‌های ارایه شده در فوق و بخش مدل­‌سازی با PDE ها سایت قطب قرار خواهیم داد.

برای پژوهشگران و تحلیل­گران مالی، اقتصادی، حسابرسان و مدیران ریسک در سازمان­‌های پولی و مالی، تجزیه و تحلیل اوراق بهادار از اهمیت بالایی برخوردار است.

معمولاً در تجزیه و تحلیل اوراق بهادار از جمله اوراق قرضه، سهام و اوراق مشتقات مالی بدون داشتن یک مدل ریاضی، اشتباهات ظریف، خطاهای غیر قابل تشخیص و سوءِ تفاهم­هایی پیش خواهد آمد که هیچ کدام از گروه­‌های تحلیل­گر مالی و اقتصاددانان نمی‌­توانند و نباید از آن چشم­‌پوشی کنند. خوشبختانه اخیراً پژوهش­گران و تحلیل­گر مالی و ریسک با استفاده از تکنیک‌­های پیشرفت‌ه­ای ریاضی و کمک ریاضی­دانان و اقتصاددانان توانسته­‌اند مدل‌­های نوینی طراحی کنند که در مقابل تغییرات بازار از خود واکنش نشان داده، برخی از مشکلات بازار را حل کنند.

یکی از مشهورترین مدل­‌ها در بازارهای مالی مدل بلک – شولز است. در حوزه­‌ی مدل­‌سازی­‌های مالی، مدل بلک – شولز نقش مهمی در تعیین قیمت دارایی­‌های پرمخاطره (دارای ریسک بالا) بازی می‌کند و شالوده‌ای برای بسیاری از چارچوب­های مدل­‌سازی قیمت اختیارات به­‌شمار می‌رود(دكتر عبدالساده نیسی(پژوهش‌های اقتصادی)).

با این استدلال و استدلال‌های دیگر معلوم می‌­شود که مدل‌­های پایه‌­ای و حتی نوین در بازارهای مالی بسته به موقعیت جغرافیایی و زمانی باید تعمیم داده شوند تا بتوانند واقعیت جدید این بازارها را پوشش دهند. نظر به این­که دست‌­اندرکاران اکثر بازارهای مالی این اصل مهم را در دستور کار خود قرار داده‌­اند و با توجه به تاثیر این بازارها بر قیمت‌گذاری کمیت­‌های مهم مالی در ایران، بایستی  مدل­‌های پایه­‌ای در  بازارهای مشتقات را که قابل بومی شدن در کشور بوده و برخی از واقعیت اقتصاد را توضیح می‌­دهند در دستور کار دانشگاه‌ها و محققین ریاضیات مالی قرار گیرند.

بلک وشولز(1973) با تئوری قیمت‌گذاری اختیار خرید انقلابی را ایجاد کردند و نشان دادند چگونه همواره در موقعیت خرید (Short position) می‌توان از اختیار معامله پوشش نمود. صادر کنند یک اختیار خرید اروپایی (Writer of a European call option) تحت دارایی ریسکی (Riskly asset) در نظر بگیرید، در صورتی­که قیمت دارایی بالاتر از قیمت توافقی (Strike price) باشد او در معرض ریسک تعهد نامحدود قرار می گیرد. برای پوشش (Hedge) از موقعیت خرید، صادر کنند اختیار خرید سهام باید خرید مقدار معینی از دارایی پایه را به گونه ای در نظر بگیرد که کاهش اختیار خرید سهام در موقعیت فروش(Long position) دارایی‌ها جبران شود. در این راستا او روش پوشش را می‌پذیرد.

در موقعیت پوشش شده یک اختیار خرید با دارایی پایه ترکیب می شود تا به هدفی دست یافت که دارایی‌ها بتوانند اختیار خرید را در مورد دارایی های پایه جبران کنند. عموماً محققان از این استراتژی نظارت بر ریسک در بازارهای مالی استفاده می کنند. با تنظیم نسبت دارایی پایه و اختیار خرید در یک پرتفوی، بلک و شولز نشان دادند که سرمایه گذاری می‌توانند پرتفوی پوشش بدون ریسک را ایجاد کنند که در معرض ریسک بودن مرتبط با قیمت دارایی تصادفی است.

خوانندگان علاقمند می­‌توانند به مقاله بلک (1989) مراجعه کنند که داستان چگونگی طرح ایده پرتفوی پوشش بدون ریسک بلک و شولز را بیان می کند.

بلک و شولز درمقاله اصلی خود، فرضیات زیر را درباره بازار مالی مطرح نمودند: 

• معاملات همواره در طول زمان صورت می گیرد.
• نرخ بهرۀ بدون ريسك،r ، ثابت و براي سررسيدهاي مختلف يكسان است.
• در خلال عمر مشتقه، سوي به دارايي پايه تعلق نمي‌گيرد.
• هیچ هزینه معامله­‌ای در خرید یا فروش دارایی با اختیار خرید و هیچ مالیاتی وجود ندارد.
• دارایی‌ها کاملاً قابل مشاهده هستند.
• هیچ خسارتی در زمینه فروش کوتاه مدت و کاربرد کامل عواید وجود ندارد.
• هیچ فرصت آربیتراژ بدون ریسکی وجود ندارد.
• تغييرات قيمت سهام از «فرايند براني هندسي» تبعيت مي‌كند.

 با نقض هر یک از محدودیت­‌های فوق می­‌توان مدل بلک-شولز-مرتن را با دقت بیشتری بیان کرد و مدل‌­های جدیدی در بازار مشتقات حاصل می‌­شوند. از این ایده می­‌توان برای بومی سازی کردن مدل­‌سازی استفاده کرد.

ادامه مدل‌­سازی در بخش : مدل‌سازی با PDE ها آمده است.